1. 队列1.1 队列的由来关于常用的受限制的线性表除了栈还有队列。队列与我们的日常生活息息相关，无时无刻都能感受到队列的存在：
早晨起床排队上厕所、洗漱
排队坐地铁、公交上下班，开车也需要排队通过交通路口
排队买早餐，排队在收银口结账，去热门餐厅吃大餐人多还得排队
建设文明和谐的社会需要队列，先进先出、先到先得这是一种公平的体现。由此可见栈、队列都是从日常生活中提炼出的结构化模型，是智慧的结晶。
队列（Queue）作为一种常见的数据结构，遵循先进先出（First In First Out, FIFO）的原则，即最早进入队列的元素最先被移除。队列广泛应用于缓冲区管理、任务调度、消息队列等场景。
和栈一样，队列中也有几个概念需要大家掌握：
队头: 线性表中允许删除数据的一端称为队头
队尾: 线性表中允许插入数据的一端称为队尾
入队列: 将元素添加到队尾的动作叫做入队列
出队列: 将元素从队头删除的动作叫做出队列
空队列: 没有存储任何元素的队列叫空队列，即该线性表是空的
1.2 队列的存储结构因为线性表有两种存储结构顺序存储结构和链式存储结构，所以对于队列而言也有两种存储 ...
在上一个章节中为大家详细讲解了栈的特点和实现，关于栈的现实应用有很多，下面再来给说几个比较常见的案例：括号匹配问题、中缀表达式转后缀表达式、后缀表达式的计算。
1. 括号匹配问题
括号在使用的时候都是成对出现的，分为左右两部分。很多时候我们都需要验证给定的字符串中的括号是否正确匹配，通常包括以下三种类型：
小括号 - ()
大括号 - {}
中括号 - []
如果使用栈来处理这个问题，具体的操作步骤如下：
初始化栈：创建一个空栈，用于存放左括号。
遍历字符串：逐个字符扫描字符串。
如果遇到左括号（(、{、[），将其压入栈中。
如果遇到右括号（)、}、]），检查栈是否为空：
如果栈为空，说明没有匹配的左括号，匹配失败。
如果栈不为空，从栈顶弹出一个左括号，并检查是否与当前的右括号匹配。如果不匹配，匹配失败。
检查栈：遍历结束后，如果栈不为空，说明有未匹配的左括号，匹配失败；否则，匹配成功。
根据上文的详细描述，我们就可以写出对应的C++代码了：
1234567891011121314151617181920212223242526 ...
1. 栈1.1 栈的由来对于大多数人而言都对生活充满了热爱，如果对身边接触到的各种事物仔细观察就会发现它们有很多相似的特性：
给子弹上弹夹，先压进去的最后被发射出来，最后压进去的第一个被发射出来。
浏览器的后退键，第一次后退看到的是最后浏览的页面，最后一次后退看到的是第一次浏览的页面
带编辑功能的软件，比如：Office、Photoshop、IDE，第一次撤销得到的最后一次修改的内容，最后一次撤销得到的是第一次修改的内容
如果在以上的某一个场景下进行连续的操作，按照线性表的描述我们就可以得到一个从前到后的序列，并且在访问序列中的元素的时候是按照从后往前的顺序进行的。
如果对线性表中元素的访问进行了限制，那么这个线性表就被称作受限制的线性表。常用的受限制的线性表有栈和队列。
栈（Stack）是一种常见的数据结构，它遵循后进先出（Last In First Out，LIFO）的原则，即最新添加的元素最先被移除，也就是它要求仅能在表尾进行元素的插入和删除。
关于栈有几个相关的概念需要大家掌握：
栈顶: 线性表允许插入、删除的一端被称为栈顶
栈底: 线性表不允许插入、删除的一端被称为栈底 ...
数据结构
未读1. 双向循环链表的结构在上一个章节中为大家详细讲解了双向链表，按照单向链表的思路继续对它进行改进，双向链表的首尾就可以相接，这样就得到了一种新的链表 ——双向循环链表。
1.1 双向循环链表的节点双向循环链表是一种特殊的链表结构，链表中的节点不仅有前驱和后继指针，还需要让链表的最后一个节点的后继指针指向第一个节点，第一个节点的前驱指针指向最后一个节点。
假设双向循环链表的节点存储的是整形数据，那么该节点的定义如下：
1234567// 定义一个节点，此为 C++ 语法struct Node{ int data = 0; Node* next = nullptr; Node* prev = nullptr;};
双向循环链表的节点结构包含三个部分：
数据域（data）：存储节点的值
前驱指针（prev）：指向前一个节点
后继指针（next）：指向后一个节点
在操作双向循环链表的时候通常会定义两个辅助指针：头节点指针和尾节点指针，头指针指向链表的第一个节点，尾指针指向链表的最后一个节点。
和前面讲过的链表一样，双向循环链表也可以分为带头 ...
1. 双向链表的结构对于单向链表和单向循环链表而言有一个共同的特点，就是链表的每个节点都只有一个指向后继节点的指针，通过这个指针我们就可以从前往后完成对链表的遍历。但是开弓没有回头箭，遍历到尾节点之后再想要回到头结点，是无能为力的。
1.1 双向链表的节点为了克服链表单向性这一缺点，聪明的程序猿们便进行了改进，设计出了双向链表。双向链表（Doubly Linked List）是一种常见的数据结构，与单向链表不同的是，双向链表中的每个节点包含两个指针，一个指向前驱节点，一个指向后继节点。双向链表的这种特性使得我们可以从任意节点高效地向前或向后遍历。
假设双向链表的节点存储的是整形数据，那么该节点的定义如下：
1234567// 定义一个节点，此为 C++ 语法struct Node{ int data = 0; Node* next = nullptr; Node* prev = nullptr;};
双向链表的节点结构包含三个部分：
数据域（data）：存储节点的值
前驱指针（prev）：指向前一个节点
后继指针（next）：指向后一个节点 ...
1. 缘起约瑟夫问题又叫约瑟夫环或丢手绢问题。故事据说发生在古罗马时期，在罗马人占领乔塔帕特后，39个犹太人与约瑟夫及他的朋友躲到一个洞中，他们宁愿死也不要被敌人抓到，于是约定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下1个人重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。但是约瑟夫和他的朋友并不想死，就开始计算要站在什么地方才能避免被处决。
很显然如果想要逃避死亡，约瑟夫和他的朋友的死亡顺序应该是倒数第一和倒数第二，那么如何才能快速计算出这两个位置呢？
通过上图的推演大家应该是受到了启发，这个问题的本质其实就是循环链表的问题，围成一个圈之后，一个一个顺序报数，这就是相当于是在遍历循环链表。数到对应数字的出列，这就相当于是搜索并删除了循环链表中的一个节点！
2. 解决问题既然处理约瑟夫问题需要用到循环链表，那么这个链表是选择带头结点的还是不带头结点的呢？
仔细分析之后相信大家选择的都是不带头结点的循环链表，因为现在的需求是通过最后一个数据节点直接找到链表中的第一个数据节点，如果是带头结点的循环链表，由于头结点不携带任何数据，在完成一轮遍历之 ...
数据结构
未读1. 单向循环链表的结构在上一个章节中为大家详细讲解了单向链表，由于它的每个节点只有一个指向后继节点的指针，通过这个指针我们只能从前往后对链表进行遍历。当遍历到链表尾部的时候再想回到从前是绝对不可能了。想要实现从链表尾部往前遍历有两种解决方案就是使用循环链表或者双向链表。
1.1 单向循环链表循环链表又分为单向循环链表和双向循环链表，我们先来研究单向循环链表。将单向链表的尾节点的后继指针由指向空指针改成指向头结点，就使整个单链表形成一个环，这种头尾相接的单链表就称之为单向循环链表。
在单向循环链表中的每个节点的结构和单向链表是相同的，假设单向循环链表的节点存储的是整形数据，那么该节点的定义如下：
123456// 定义一个节点，此为 C++ 语法struct Node{ int data = 0; Node* next = nullptr;};
1.2 头结点如果对单向循环链表再次进行细分可以分为两类：带头结点的单向循环链表和不带头结点的单向循环链表。
下图是不带头结点的单向循环链表：
如果单向循环链表不带头结点，它的尾节点的后继指针指向的是链 ...
1. 单向链表的结构在上一个章节中为大家详细讲解了静态链表，它解决了插入和删除数据的时候大量移动元素的问题，但是解决不了合理分配和使用内存的问题。解决这个问题的最优方案就是使用动态链表，简称链表。
链表和数组都可以称之为线性表，数组是一种顺序存储结构的线性表，而链表是一种链式存储结构的线性表，链表中的节点和节点之间的内存是不连续的，它们之间的前后关系需要通过指针来维系。
关于链表有很多种，比如：单向链表、单向循环链表，双向链表、双向循环链表，并且这些链表可以带头结点也可以不带头结点。
1.1 单向链表节点我们先从单向链表说起，所谓的单向链表就是链表的节点中只有一个指针域，并且这个指针域指向当前节点的下一个节点（后继节点）的地址。
假设单向链表的节点存储的是整形数据，那么该节点的定义如下：
123456// 定义一个节点，此为 C++ 语法struct Node{ int data = 0; Node* next = nullptr;};
对于上图这个单向链表而言：
链表第1个节点中的Next指针保存了第2个节点中Data1的起始地址
链表第2个节 ...
1. 静态链表的设计1.1 定义静态链表链表是由多个相同类型的节点组成的线性表，它的每个节点都包含一个数据项和一个指向下一个节点的指针，链表中各个节点的地址是不连续的。
下面是一个用于存储整形数据的链表节点结构：
12345struct Node{ int data; struct Node* next;};
data：用于存储实际数据
next：用于连接当前节点的后继节点，存储的是下一个节点的地址（很多资料中将其称之为游标）
静态链表是一种使用数组实现的链表，通常用于环境中无法使用指针的情况。这种结构在内存中是连续存储的，但节点的位置可以变化，因此称为静态链表。
静态链表的节点结构和链表类似，但是不完全相同，当前节点连接后继节点使用的是索引而不是指针。
下面是一个用于存储整形数据的链表节点结构：
12345struct Node{ int data; int next; };
data：用于存储实际数据
next：使用索引的方式记录后继节点的位置
由于静态链表是一个数组，也就是说在存储数据之前元素对应的存储 ...
数组（Array）是 C/C++ 中最基础和重要的数据结构之一，它提供了一种有效存储和访问固定大小元素集合的方式。关于数组的定义和使用相信大家都已经熟练掌握，本文将着重为大家剖析数组的物理结构和逻辑结构。
1. 数组的物理结构数组的物理结构是指数组元素在内存中的实际存储方式。在内存中，数组元素是连续存储的，这意味着相邻元素的地址是连续的，且每个元素占用固定大小的内存空间。
例如，对于一个整型数组 int numbers[5]，如果数组的起始地址为 0x1000，每个整型元素占据4个字节，那么数组中的元素在内存中的存储情况可能如下：
123450x1000: numbers[0]0x1004: numbers[1]0x1008: numbers[2]0x100C: numbers[3]0x1010: numbers[4]
这样的存储方式保证了对数组元素的快速访问和遍历，因为可以通过计算地址偏移来访问数组中的任意元素。
2. 数组的逻辑结构2.1 线性表数组是一种线性数据结构，它由相同类型的元素组成，并以连续的内存地址存储。所谓的线性表就是由一个或多个元素组成的有序序列。在 ...
