1. 进制

进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。 对于任何一种进制，比如 X 进制，就表示某一位置上的数运算时是逢 X 进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x 进制就是逢 x 进位。

1.1 二进制

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是 逢二进一，借位规则是借一当二。

当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。

十进制转化二进制的方法：用十进制数除以2，分别取余数和商数，商数为0的时候，将余数倒着数就是转化后的结果。

十进制的小数转换成二进制：小数部分和2相乘，取整数，不足1取0，每次相乘都是小数部分，顺序看取整后的数就是转化后的结果。

1.2 八进制

八进制，Octal，缩写OCT或O，一种以8为基数的计数法，采用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字，逢八进1。一些编程语言中常常以数字0开始表明该数字是八进制。

八进制的数和二进制数可以按位对应（八进制一位对应二进制三位），它们之间的转换在计算机语言中也很常见，对应关系如下表：

十进制转化八进制的方法：

用十进制数除以8，分别取余数和商数，商数为0的时候，将余数倒着数就是转化后的结果。

1.3 十六进制

十六进制（英文名称：Hexadecimal），同我们日常生活中的表示法不一样，它由 0~9，A~F(a~f) 组成，字母不区分大小写。与10进制的对应关系是：0~9对应0~9，A~F(a~f)对应10~15。

十六进制的数和二进制数可以按位对应（十六进制一位对应二进制四位），它们之间的转换也很常见，对应关系如下表：

十进制转化十六进制的方法：

用十进制数除以16，分别取余数和商数，商数为0的时候，将余数倒着数就是转化后的结果。

1.4 进制数的表示

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

#include <stdio.h>
int main()
{
	int a = 123;        //十进制方式赋值
	int b = 0123;       //八进制方式赋值， 以数字0开头
	int c = 0xABC;      //十六进制方式赋值

	// 在printf中输出一个十进制数用 %d，八进制用 %o，十六进制用 %x
	printf("十进制：%d\n", a);
	printf("八进制：%o\n", b);	// %o,为字母o,不是数字
	printf("十六进制：%x\n", c);

	return 0;
}

程序输出的结果为:

1
2
3

十进制：123
八进制：123
十六进制：abc

2. 存储数据的方式

2.1 原码

所谓原码顾名思义就是数据的原始二进制码，一个数的原码有如下特点：

• 最高位做为符号位，0 表示正，1 表示负
• 其它数值部分就是数值本身绝对值的二进制数
• 负数的原码是在其绝对值的基础上，最高位变为1

下面使用 1字节的大小数值对原码进行描述：

原码表示法简单易懂，与带符号数本身转换方便，只要符号还原即可，但当两个正数相减或不同符号数相加时，必须比较两个数哪个绝对值大，才能决定谁减谁，才能确定结果是正还是负，所以原码不便于加减运算。

2.2 反码

反码是一种二进制数的表示方式，它有如下两个特点：

• 正数的反码和原码相同
• 负数的反码是将原码中的1变为0，0变为1（符号位不动）。

具体而言，对于一个 n 位的二进制数，如果是正数，则它的反码和原码相同；如果是负数，则它的反码是将原码中除了符号位以外的其它位取反。

使用反码进行加减运算其实也不方便，通常用来作为求补码的中间过渡。

2.3 补码

在计算机系统中，数值一律都是采用补码来存储的。补码的特点如下：

• 对于正数，原码、反码、补码相同

• 对于负数，其补码为它的反码加 1

• 补码符号位不动，其他位求反，最后整个数加1，得到原码

1
2
3
4
5
6
7

#include <stdio.h>
int main()
{
	int  a = -15;
	printf("%x\n", a);
	return 0;
}

上面代码输出的结果为 fffffff1，下面一起来推导一下：

1. fffffff1对应的二进制：1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0001

2. 符号位不变，其它取反：1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1110

3. 再加 1，1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 最高位 1 代表负数，就是-15

2.4 补码的意义

下面我们来举几个例子，用以说明补码存在的意义：

1. 示例1：用 8 位二进制数分别表示 +0 和 -0

   十进制数	原码	反码
   +0	0000 0000	0000 0000
   -0	1000 0000	1111 1111

   通过上表可以发现：不管以原码方式存储，还是以反码方式存储，0 也有两种表示形式。为什么同样一个0要有两种不同的表示方法呢？

   但是如果以补码方式存储，补码统一了零的编码：

   十进制数	补码
   +0	0000 0000
   -0	0000 0000

   基于之前对补码的描述可以得到如下公式：-0的补码 = -0反码 + 1，也就是1111 1111 + 1 = 1 0000 0000，由于约定只用 8 位（1个字节，1Byte）描述，最高位1丢弃，变为0000 0000，此时关于 0 的二进制存储就可以统一了。

2. 示例2：计算 9-6 的结果

   以原码方式相加，先看这两个数字对应的原码：

   十进制数	原码
   9	0000 1001
   -6	1000 0110

   

   二进制的0000 1111对应十进制的15，并且二进制数的符号位为1，也就是意味着结果是一个负数即：-15，很显然这个结果是不正确的。

   我们可以以补码方式来计算这两个数的和，下表为这两个数的补码：

   十进制数	补码
   9	0000 1001
   -6	1111 1010

   

   由于约定的是8位存储，所以最高位的 1 溢出，剩余8位二进制0000 0011表示的是3，正确。

通过上面两个例子，我们明白了在计算机系统中数值一律用补码来存储的原因，主要有以下几点：

• 统一了零的编码

• 将符号位和其它位统一处理

• 将减法运算转变为加法运算

• 两个用补码表示的数相加时，如果最高位(符号位)有进位，则进位被舍弃